a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho 

\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)

b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

 \(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)

Bất phương trình tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)

1: \(2^x=64\)

=>\(x=log_264=6\)

2: \(2^x\cdot3^x\cdot5^x=7\)

=>\(\left(2\cdot3\cdot5\right)^x=7\)

=>\(30^x=7\)

=>\(x=log_{30}7\)

3: \(4^x+2\cdot2^x-3=0\)

=>\(\left(2^x\right)^2+2\cdot2^x-3=0\)

=>\(\left(2^x\right)^2+3\cdot2^x-2^x-3=0\)

=>\(\left(2^x+3\right)\left(2^x-1\right)=0\)

=>\(2^x-1=0\)

=>\(2^x=1\)

=>x=0

4: \(9^x-4\cdot3^x+3=0\)

=>\(\left(3^x\right)^2-4\cdot3^x+3=0\)

Đặt \(a=3^x\left(a>0\right)\)

Phương trình sẽ trở thành:

\(a^2-4a+3=0\)

=>(a-1)(a-3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\a-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\left(nhận\right)\\a=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}3^x=1\\3^x=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

5: \(3^{2\left(x+1\right)}+3^{x+1}=6\)

=>\(\left[3^{x+1}\right]^2+3^{x+1}-6=0\)

=>\(\left(3^{x+1}\right)^2+3\cdot3^{x+1}-2\cdot3^{x+1}-6=0\)

=>\(3^{x+1}\left(3^{x+1}+3\right)-2\left(3^{x+1}+3\right)=0\)

=>\(\left(3^{x+1}+3\right)\left(3^{x+1}-2\right)=0\)

=>\(3^{x+1}-2=0\)

=>\(3^{x+1}=2\)

=>\(x+1=log_32\)

=>\(x=-1+log_32\)

6: \(\left(2-\sqrt{3}\right)^x+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\)
=>\(\left(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^x+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\) 

=>\(\dfrac{1}{\left(2+\sqrt{3}\right)^x}+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\)

Đặt \(b=\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(b>0\right)\)

Phương trình sẽ trở thành:

\(\dfrac{1}{b}+b=2\)

=>\(b^2+1=2b\)

=>\(b^2-2b+1=0\)

=>(b-1)²=0

=>b-1=0

=>b=1

=>\(\left(2+\sqrt{3}\right)^x=1\)

=>x=0

7: ĐKXĐ: \(x^2+3x>0\)

=>x(x+3)>0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>0\\x< -3\end{matrix}\right.\)
\(log_4\left(x^2+3x\right)=1\)

=>\(x^2+3x=4^1=4\)

=>\(x^2+3x-4=0\)

=>(x+4)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

đk: \(\begin{cases}x+2\ne0\\4-x>0\\6+x>0\end{cases}\)

ta có \(3\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-3=3\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+3\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right).\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\frac{x+2}{4}=\left(4-x\right)\left(6+x\right)\)

giải pt tìm ra x

đối chiếu với đk của bài ta suy ra đc nghiệm của pt

ĐKXĐ: \(x>\dfrac{1}{2}\)

\(log_{\dfrac{1}{2}}\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)< 2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{2x-1}>\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x>-\dfrac{5}{2}\)

Kết hợp ĐKXĐ: \(\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}\)

Theo công thức biến đổi có số ta có : \(\log_{a^n}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^n}=\frac{1}{n}\log_ax\)

Từ đó ta có :

      \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)

          \(=\frac{1}{\log_ax}+\frac{2}{\log_ax}+\frac{4}{\log_ax}+...+\frac{n}{\log_ax}\)

          \(=\frac{1+2+3+...+n}{\log_ax}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)

Vậy \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)

a)\(\log_{\frac{2}{x}}x^2-14\log_{16x}x^3+40\log_{4x}\sqrt{x}=0\)ĐKXĐ: x>0

\(\Leftrightarrow2\log_{\frac{2}{x}}x-42\log_{16x}+20\log_{4x}\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x\frac{2}{x}}-\frac{42}{\log_x16x}+\frac{20}{\log_x4x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x2-1}-\frac{42}{4\log_x2+1}+\frac{20}{2\log_x+1}=0\)

Đặt \(\log_x2=a\left(a\in R\right)\)

Thay vào pt:\(\frac{2}{a-1}-\frac{42}{4a+1}+\frac{20}{2a+1}=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-a+4=0\)(pt này vô nghiệm)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

cái đó phải là \(-42\log_{16x}x\) nhé bạn

\(\log_{\frac{x}{2}}4x^2+2\log_{\frac{x^3}{8}}2x+\log_{2x}\frac{x^4}{4}=-\frac{14}{3}\)(ĐKXĐ:x>0)

\(\Leftrightarrow2\log_{\frac{x}{2}}2x+\frac{2}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\log_{2x}\frac{x^2}{2}=-\frac{14}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\log_{2x}\frac{x^2}{2}=-\frac{14}{3}\)

Xét \(\log_{2x}\frac{x^2}{2}=\log_{2x}\frac{x^2}{4}\cdot2=2\log_{2x}\frac{x}{2}+\log_{2x}2=\frac{2}{\log_{\frac{x}{2}}2x}+\frac{1}{1+\log_2x}\)

Thay vào phương trình ta được:

\(\frac{8}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\left(\frac{2}{\log_{\frac{x}{2}}2x}+\frac{1}{1+\log_2x}\right)=-\frac{14}{3}\)

Đặt \(\log_2x=a\left(a\in R\right)\)

Xét

\(\log_{\frac{x}{2}}2x=\log_{\frac{x}{2}}2+\log_{\frac{x}{2}}x=\frac{1}{\log_2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\log_x\frac{x}{2}}=\frac{1}{\log_2x-1}+\frac{1}{1-\log_x2}=\frac{1}{a-1}+\frac{1}{1-\frac{1}{a}}=\frac{a+1}{a-1}\)

Thay vào pt ta được:

\(\frac{8}{3}\cdot\frac{a+1}{a-1}+2\left(2\cdot\frac{a-1}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)=-\frac{14}{3}\)

Giải ra ta được a=0 hoặc a=-23/17

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2^{-\frac{23}{17}}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x>0\) ; \(x\ne1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}log_x2^4+log_{2x}2^6=3\)

\(\Leftrightarrow2log_x2+6log_{2x}2=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{log_2x}+\dfrac{6}{log_22x}=3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{log_2x}+\dfrac{6}{log_2x+1}=3\)

Đặt \(log_2x=t\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{t}+\dfrac{6}{t+1}=3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x=2\\log_2x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\end{matrix}\right.\)